Ich hatte einen Hut, den ich aufzutrennen brauchte, und beschlossen, das draußen zu machen, weil während dieses Werks derr Arbeit Staub entstehen wuürde.

Ich habe X zu tun = Ich muss X tun = X をしなくては行けない

Das "Werk" wäre der fertige Hut. Du sprichst hier aber vom Vorgang, den Hund aufzulösen. Da passt "Werk" nicht.

"Staub entstehen" ist hier etwas unnatürlich. Wir würden eher sagen "Staub anfallen", oder "stauben": ...., weil es während/bei dieser Arbeit stauben würde.

"bei" ist hier natürlicher als "während", weil die Arbeit ja die Ursache des Staubes ist.

Am einfachsten wäre der Satz so: "...., weil es dabei stauben würde".

Außerdem glaubte ich, dass es draußen frischer wurde, als im Hause sei, weil der Wind weht.

In Wirklichkeit gab es aber fast keinen Wind, und es war heiß.

Natürlicher:

"Tatsächlich gabe es aber ....."

Ich hatte einen Hut, den ich aufzutrennen brauchmusste, und beschlossen, das draußen zu machen, weil während dieses Werks der Staub entstehen wuürde.

Außerdem glaubte ich, dass es draußen frischer wurdäre, als im Hause, weil der Wind weht.