英語とフランス語が話しせます。 英語とフランス語が話せます。

The original sentence means "English and French speak".

結果、スペイン語もちょっと話せます。 スペイン語もちょっと話せます。

そのうちに日本語も話しせるようになります！ そのうちに日本語も話せるようになります！

ようになります 　 will be/become able to

頑張りますよ！ 頑張りますよ！