Quand j'y suis arrivé, il y avait deux enfants qui attendaient déjà leurs tours, alors en attendant, je me suis assis et j'ai révisé les flashcards en français sur Anki.

The plural wouldn't be wrong in itself, but the French language would consider each of them had "one" turn, and so, use the singular

Tout s'est passé tranquillement/sans problème avec le premier enfant, mais le deuxième garçon, qui avait environ deux ou trois ans, n'aimait pas du tout l'idée d'une coupee se faire couper les cheveux.

Il était très/trop bruyant, mais au moins j'avais mes écouteurs.

If you meant "trop" in the sense of "très", I must warn you this is very colloquial/"youth speak"

Enfin, l'enfant ne me dérangeait pas trop parce que j'ai compris que c'est/était naturel pour les enfants d'avoir peur d'une se faire coupe der les cheveux.

The sequence of tenses would require "était", but since you're stating some kind of universal truth, "est" is ok
Once again, the verb would be more natural

Ce n'est/était pas du tout naturel !!

En fait, je me souviens qu'à l'époque, mon père m'ae promettait toujours promis une glace après une coupe de cheveux pour que je me sente plus à l'aise.

Focus on the process (repeated action) => promettait

Peut-être que le garçon aurait plu moins pleuré si lsa mère lui en avait promis une ?

"plu" is the p.p of "plaire", which means "to be liked", ex "cette voiture m'a plu", literally "this car has been liked to/by me"
"pleurer" is totally regular, so its past participle is "pleuré"

Enfin, le fait que j'ai(e) dû attendre ces enfants ne soit'a pas forcément été une mauvaise chose.

Both subjunctive and indicative are used after "le fait que", but the main verb would be indicative (it's a simple statement)
However, it would rather be in the past tense (it was mostly a good thing for you back then)

Quand le deuxième enfant a eu fini, mon coiffeur préféré est arrivé en même temps.

"a eu fini" is something called "un temps surcomposé": it's totally grammatical and allows you to express both achievement and anteriority from the perspective of another past action
However, you're indicating completion here (first something is achieved then something else comes), so you can't use "en même temps"

Je ne suis pas particulièrement pointilleux avec les coupes de cheveux, mais je sais bien qu'avec ce mec-là, je n'ai pas besoin d'expliquer ce que je veux parce qu'il le connsait déjà exactement.

Being aware of a fact => savoir
"ce mec-là" is colloquial (but perhaps you already know it)