Có thể vì công việc của mình rất là bậbận rộn, nên mình thường mệt mỏi.

"Bận rộn" means "to be busy working on various tasks/things all at once". I believe it encapsulates the meaning of "rất là bận" very well.

However, "rất là bận" is also very suitable to use when chatting with friends, "Hôm rồi ở công ty mình rất là bận luôn!" for example.

Cũng có thể vì mình đang sống khá xa từ gia đình, nên mình chỉ gọi cho ba mẹ một lần mỗi tuỗi tuần một lần.

The first half is grammatically correct. However, by using "có thể ~ cũng có thể" structure, it will make the sentence even more natural!

Có thểlẽ vì trhời tiết ở đây rất lạnh, nên mình thường ở nhà mỗi ngàynhiều hơn.

Since we have used "có thể ~ cũng có thể" structure above, using "có lẽ" in the next sentence may be a good idea. Both convey the meaning of "perhaps".
You can omit "có thể vì" and say "Vì thời tiết ở đây rất lạnh," as well.

It's more common to say "trời lạnh quá" in casual speech, but for writing, "thời tiết" will make your sentence clearer and more concise.

"Thường ở nhà nhiều hơn" implies you "tend to stay indoor more/don't go out a lot", which conveys the "thường ở nhà mỗi ngày" message very well.

Mình chỉ đi ra ngoài khi mình phải đi chạy bộ hoặc đi ra tiệm tạp hoá để mua đồ ăn.

"Phải đi chạy bộ" implies you may need to "force" yourself to go for a jog, if that is the original intention (forcing yourself to go for a jog, even in this kind of weather), then I think "phải đi chạy bộ" is perfectly alright.

"Đi ra" has the meaning of "to go out from somewhere to go to another place"
Example: Từ nhà đi ra cửa hàng tiện lợi gần nhất mất 15 phút (It takes 15 minutes for me to go from home to the nearest convenience store)

Dù đôi khi mình buồn, mình cảm thấy tốt hơn sau khi dành thời gian với người bạn cùng phòng và con mèo của mình.

"Dù thỉnh thoảng/đôi lúc/đôi khi buồn, mình (thường) cảm thấy tốt hơn..."
Mình can be omitted here if preferred. As the whole story is about yourself, there won't be misunderstanding.

"Thường" may make the sentence more natural here, if the original intention is "While I'm sad sometimes, I (usually) feel better after spending times with my roommate and my cat". The original sentence that you wrote is perfectly fine in this aspect.

Con mèo của mình
Chú mèo của mình [alternative way to address animal, there's a sense of familiarity here]
Con mèo bọn mình nuôi [if you guys take care of this cat together]
are also suitable choices in this case.

Mình hy vọng sắp tới mình sẽ cảm thấy hạnh phúc hơn.

Mình hy vọng sắp tới [soon] mình sẽ cảm thấy hạnh phúc hơn
Mình hy vọng mình sẽ cảm thấy hạnh phúc hơn trong thời gian tới [in the near future]
Both can convey the sense of "I hope I will feel happier soon/in the near future"

If you would like to convey "I hope I will warm up/get used to living here soon", you can also say "Mình hy vọng sắp tới sẽ quen hơn với cuộc sống tại đây"

Có thể vì mình đang sống khá xa từ gia đình, nên mình chỉ gọi cho ba mẹ một lần mỗi tuần.

Có thể vì mình quá bận rộn với công việc của mình rất là bận, nên mình thường mệt mỏi.

CHoặc có thể là vì mình đang sống khá xa từ gia đình, nênvà mình chỉ có thể gọi cho ba mẹ một lần mỗi tuần.

Có thể vì tTrời ở đây rất lạnh, nên mình thường ở nhà mỗi ngày.

Dù đôi khi mình buồn, mình cảm thấy tốt hơn sau khi dành thời gian với người bạn cùng phòng và con mèo của mình.

Mình hy vọng sắpmình sẽ cảm thấy hạnh phúc hơn.

Có thể vì mình đang sống khá xa từ gia đình, nên và mình chỉ gọi được cho ba mẹ một lần mỗi tuần.

" nên" : từ nguyên nhân nào đó gây ra kết quả (sự việc, hành động)
Ví dụ: Vì kiến thức của tôi còn hạn chế, nên tôi phải học tập chăm chỉ.

Mình chỉ đi ra ngoài, khi mình phải đi chạy bộ hoặc đi đến tiệm tạp hoá để mua đồ ăn.

Dù đôi khiMặc dù thỉnh thoảng mình buồn, nhưng mình cảm thấy tốt hơn sau khi dành thời gian với người bạn cùng phòng và con mèo.

Mình hy vọng sắp tới/ trong thời gian tới, mình sẽ cảm thấy hạnh phúc hơn.