Ben ik allergisch voor iets?

This is correct but you can also say:
“Heb ik een allergie?” Or “ben ik ergens allergisch voor?”

Here are a couple of examples:

Ik ben ergens allergisch voor. Wat nu? Wanneer een allergie wordt vastgesteld is het advies eenvoudig: vermijdt voortaan het bewuste allergeen. See: https://dermateam.nl/specialismen/eczeemcentrum-en-allergie/wat-is-allergie-2/

https://www.thuisarts.nl/allergie/ik-heb-allergie

https://www.thuisarts.nl/allergie/ik-wil-uitzoeken-waar-ik-allergisch-voor-ben

Eerst moet ik zeggen dat ik geen allergieën heb maar mijn vriend wel.

Correct but for some reason ten eerste moet ik sounds a bit better to me.
I think I would start your particular sentence with ten eerste and l would use eerst in a situation like:
I still have to go out to buy groceries but first I want to rest for a while :
Ik moet er straks nog uit om boodschappen te doen, maar eerst wil ik even tot rust komen/ eerst wil ik even rusten

Synonyms of ten eerste:
-Eerst (first/ firstly) (so to my feeling is used mostly in “but first x” situations but I would double check this with a tutor)
- allereerst (first of all)
- om te beginnen (to start off)

You can also drop the eerst altogether and you can say something like:

Ik moet toegeven dat ik nergens allergisch voor ben. (I have to confess that I’m not allergic to anything.) Dit stuk gaat dus eigenlijk niet over mij (this piece therefore isn’t really about me) maar over mijn vriend (it’s about my boyfriend).

I’m sure you know this already but moet comes before the subject ik if you use ten eerste and if you decide not to use it then moet follows the subject.

Hij heeft een gluten allergie.

Glutenallergie is one word

Toen ik hem voor het eerst ontmoette, gingen wij naar de bioscoop, en daarna naar een café.

You can also say:

[…] gingen we/ wij eerst naar de bios(coop), en daarna naar een café.

Bios is short for bioscoop and it’s quite often used in spoken Dutch.

You can further substitute café for a more colloquial “en daarna gingen we ergens iets eten/ drinken.” If you use this sentence, you can follow it up with a description of the cafe (name, interior, whether it was “gezellig” or not.) Thinking about it, I realised people don’t use the word cafe very much while speaking, but your sentence is perfectly OK.
Zullen we ergens iets gaan drinken is more common than zullen we naar een café toegaan.

In the summer, when people want to drink something (particular wine or beer but also just having a beverage outside in the sun at a particular cafe or bar or whatever), they might drop the “terrasje pakken” - to grap a terrace, and would never use cafe in that situation.

Later kwam ik erachter dat hij last hadeeft van gluten, oftewel een glutenallergie, en ging daarom zelden uit eten.

I think heeft sounds better because his condition is chronic and ongoing. Last had sounds like it was just at that time you met.

Dit was een beetje een schok voor mij, want ik hou echt van eten.

Instead of schok you can also say:
Ik was zeer verbaast toen ik hier achterkwam, want … - I was very surprised when I discovered this, because …
Or
Ik was best geshockeerd hierdoor - I was quite shocked by this
(and your sentence is this was a bit of a shock to me)

Ik vind het geweldig om nieuwe restaurants uit te zoeken, en nieuwe keukens uit te proberen.

Maar nu zijn we er a stuk beter in.

Sentence is correct but instead of nu you can also use tegenwoordig

Aangezien ik gek ben op eten, zoek ik alles op.

Do you mean that you try to find places to eat (that are celiac friendly)? I’m asking because although I think you are searching for places to eat, the sentence is ambiguous enough for it not to be entirely clear what you’re searching for.

Dit was niet mijn eerste keer in Parijs, maar het was zeker anders dan wat ik eerder had meegemaakt.

Correct. You can also use the word “belevenis” - experience

Dit was niet mijn eerste keer in Parijs, maar het was een nieuwe belevenis voor mij.

Itk hebad een hele lijst gemaakt, met glutenvrije restaurants en kunnen, waarvan we/ wij elke dag een plek vanuit de lijstkonden kiezen om te bezoeken.

Very good attempt at quite a complicated sentence.

Nu is het echt makkelijker geworden.

Nu is het echt makkelijker geworden om samen uiteten te gaan, of ergens een hapje te eten, of iets te drinken.

Uiteten gaan - to go out for dinner
Ergens een hapje te eten - to have a quick bite somewhere
Iets drinken - to drink something

Ik denk dat het mijn vriend enorm helpt, dat ik van eten hou, en dat ik het niet erg vind om alles te regelen.

Ik moet goed zorgen dat ik geen sporen van gluten laat liggen op (surfaces - ik herinner me het woord niet) die met eten in aanraking komen.

Oppervlaktes ;) - surfaces
Kitchen bench (top)/ countertop is aanrecht; I think you’ll hear people use this one a lot.

Ik moet het aanrecht schoonmaken - I have to clean the kitchen countertop.

Hoewel het moeilijk was in het begin, heb ik het heel snel geleerd, nadat mijn vriend ziek werd.

Or: heb ik heel snel geleerd alles netjes schoon te maken/ schoon te houden.

Nadat mijn vriend een keer ziek was toen ik het vergeten was te doen.

Soms mis ik wel de normale beleving van allergievrij eten, maar het is het waard nu mijn vriend ook kan genieten van heerlijk eten.

Maybe this is better - soms mis ik mijn oude level wel een beetje, die tijd toen allergieën geen invloed hadden op mijn dieet/ geen rol speelde in wat ik wel of niet at.

There are times during which I miss my old life a bit; those times in which allergies didn’t influence my diet/ didn’t play a roll in (determining) what I did or didn’t eat.

Allergievrij eten doesn’t make a lot of sense to me because I would understand this as food that doesn’t cause an allergic reaction, i.e. allergen free, which is the opposite of what you want to say, I think.

Hier neem ik een beetje (credit??) voor - voordat hij mij kende zei hei dat hij bijna geen zin had in eten.

I think it’s eer opstrijken (eer is honour); literal translation is a bit hard but I think the gist of it is something like to stroke honour onto oneself

voor iets de eer opstrijken - to take credit for something

So your sentence could be: En hiervoor wil ik wat eer opstrijken - …

That said, if your Dutch friends speak English fluently, you could absolutely get away with saying what you wrote using credit. They will understand what you mean. If the situation is the NT exams then use eer opstrijken.

Maar nu wordt hij ook enthousiast over nieuwe soorten eten.

Here you could also use tegenwoordig (aajkal) as a synonym of nu