Sehr geehrter Herr Müller, ¶
ich schreibe Ihnen, weil ich vorschlagen möchte, eine Schulung über die Kommunikation am Arbeitsplatz zu organisieren.

Ich würde eher schreiben: "um vorzuschlagen ..." ("weil" ist aber nicht falsch)

Ich habe es bemerkt, dass die Leistung in unseremr Firma abnimmt.

die Firma

Ich habe es bemerkt. -> Der Satz endet. Was bemerkt wurde, ist aus dem Kontext schon klar.
Ich habe bemerkt, dass .. -> Ohne "es". Was bemerkt wurde, kommt erst noch in dem dass-Satz.

Denn die Kommunikation ist indirekt und schwach ist.

"Denn" beginnt einen Hauptsatz. Die Wortstellung ist also die Wortstellung im Hauptsatz.

Auf diesem Grund möchte ich Sie fragen, ob ich eine Schulung über die Kommunikationsfahigkeit bei der Arbeit leiten kann?.

Es ist eine indirekte Frage ("ob"). Deshalb kein Fragezeichen am Ende. Das Fragezeichen nach direkten Fragen: "Kann ich eine Schulung leiten?"

DannIch kenne mich super damit aus, wie man die Informationen deutlich und einfach weitergeben kann.

"super" ist für einen offiziellen Brief zu umgangssprachlich. Besser: "ich kenne mich (sehr) gut damit aus, wie ..." oder "Ich habe viel Erfahrung damit, wie ..."

Ich koönnte freine kostenlose Schulung anbieten und unseren Kollegen alles erklären kann.

konnte = Vergangenheit: "Leider konnte ich gestern nicht kommen."
könnte = Konjunktiv

Was ist eine "freie" Schulung? Eine kostenlose Schulung, bei der man nichts bezahlen muss?

Ich bin mir sicher, dass dieses Verhalteorgehen unsere Teamarbeit stärker macht.

das Verhalten (mit "n" am Ende)
hier passt aber besser: dieses Vorgehen, dieses Verfahren, diese Verfahrensweise o.ä.

Ich hoffe, dass die Veranstaltung in einer Woche stattgefufinden wird.