Aujourd'hui j'avétais en retard pour mesen cours.

to be late = être en retard

Lorsque j'ai été tard le prochainétais en retard le dernière fois, orle professeur a eécrit une lettre de (complain)te et Iil l'a donné sa ae [à la proprieétaire. ?]

Obviously you're referring to the last time (in the past), so it'd be "la dernière fois"
"la prochaine fois" is the next time (in the future)
a complaint letter = une lettre de plainte (this is what it means in general, in this particular context, there's no equivalent in French universities)
Didn't grasp what you meant with "à la propriétaire"; phrased like that, it would mean "the letter's owner" (??)
l' = le, object pronoun of the third person singular

Je suis dans beaucoup de problemvraiment dans la mouise.

This is a bit colloquial but would fit well here
être dans la mouise = to be in a quagmire, to be in trouble

Cependant , je me deébrouillera eti pour/je tâcherai de changer mon (attitude)/comportement.

"je me débrouillerai" would mean something like "I'll sort it out, I'll find a solution somehow"
If you mean you'll work hard to do so, you can say "je tâcherai de/je m'efforcerai de/je m'évertuerai à"

Pendant cet heure, j'ai parti à la maison deTout à l'heure, je suis partie chez ma coupine et Eelle m'a donner plusieurs deé quelques conseils.

If you're referring to a close moment in the past, "tout à l'heure" would be a very good choice
"partir", like most movement verbs, require "être" as an auxiliary verb
chez quelqu'un = at/to someone's house/home
"plusieurs" would emphasize the fact she didn't give you only one piece of advice; "quelques" would emphasize an undefinite, but moderate quantity