Je suis toujours impressionnée par les gens qui peuvent apprendre des langues rapidement.

Feminine agreement

J’ai commencé à l'apprendre avec une prof qui m'a enseigné moi les bases de la langue.

le = le français

If she was a female, then "UNE prof"

Non-tonic indirect object pronouns are => me, te, lui, nous, vous, leur
They're placed in front of the auxiliary verb in compound tenses

Cependant, ainsi que ceci, elle a enseigné moi deEn plus de/Outre ceci, elle m'a fait découvrir la France, ses régions et vill, ses différentes, villes et lsa culture.

You're adding another element here so something like "en plus de" or "outre" ("in addition to this") would be more fitting (and you can drop the "cependant")

"enseigner de" as a literal translation of "teach about doesn't really work". The most common way to put it would be "enseigner des choses sur", but "faire découvrir" would be a very nice pick, especially in the case of a teacher getting her students interested into another culture

"ses villes différentes" would focus on the fact the cities were alike; "ses différentes villes" would rather mean "various"

Quand j’étais plus jeune, j'ai vraiment appréciéetite, j'appréciais vraiment ces cours et je savais que je voulais continuer à apprendre.

"appréciais" for the same reason as "voulais"
If you were a kid or young teen, "petite" would be the most accurate term

Au fil/cours des années, j'ai continué à apprendre le françaiscette langue et j’en ai même fait le français comme matière scolaire.

We always use indefinite articles in such cases, treating the subject as an incountable noun => faire DES maths, DU français, DE L'histoire...

en = du français
+ "cette langue" to avoid repetitions

Cependant, avec six autres matières, j’ai trouvé/je trouvais ça très difficile de faire suffisamment d'efforts en françaisdans celle-ci.

Imparfait and passé composé would both be right here, I'd tend to use the imparfait for the same reasons as above
Same thing here, to avoid repetitions

Maintenant, tous mes examens sont terminés et je veux me concentrer sur l'apprendre letissage du français.

SE concentrer SUR [+noun]

CependantNéanmoins, c’est difficile de savoir comment à [l'améliorer/s'améliorer ?].

"S'améliorer", if you just mean "to improve", "L'améliorer" if you mean "improving your French"
"néanmoins" to diversify the vocabulary

Beaucoup de gens disent qu’il e c'est une bonne idée àde regarder des émissions de télé en français et àt de lire des articles et des romans en français.

You're forced to go for "ce" here since it announced repeats "regardes des émissions [...]"

Cependant, j'ai toujours eu l'impression que regarder et lire sans objectif précis n'est/n'était pas d'une grande aide.

The sequence of tenses would normally require "était", but since you're stating some kind of universal truth, "n'est" could be accepted

J'espère que je peuxpouvoir trouver une méthode qui m’aidera pour que je peux deveniarriver à parler couramment.

A future action after "espérer" can and must take the future tense => pourrai
All the other verbs have the same subject as "espérer" = infinitive structures => j'espère pouvoir trouver, pour arriver à ("arriver à" also to diversify the vocabulary, it's a great verb to know which is used as much or perhaps more than "to manage to, to be able to")

A language can be "courant" but not a person

Bien que mes progrès a[soient été?] lents, j'adore apprendre cette/la langue !

As far as I've understood, you still think your progress is slow, so I'd use the present tense here
Plural => lentS