Le but : Jje veux comprendre la différence entre « à nouveau » et « de nouveau ». Le but : je veux comprendre la différence entre « à nouveau » et « de nouveau ».

J'ai oublié de sauvegarder mon document donc j'ai dû à nouveau écrire ma critique à nouveau. J'ai oublié de sauvegarder mon document donc j'ai dû écrire ma critique à nouveau.

Saving a document (on a computer) is "sauvegarder" ; "sauver" means "to rescue"

J'Il me faudrai besoin à de nouveau de demander à mon prof son adresse (e-)mail, car il a oublié de me la donner. Il me faudra de nouveau demander à mon prof son adresse (e-)mail, car il a oublié de me la donner.

Syntactically, this would be the best position for "de nouveau", but with "avoir besoin de", it'd result in "j'aurai besoin de de nouveau", which is very clumsy... It could be at the end after "e-mail", but it would sound a bit off too... Honestly, the most natural option for any native in these sentences would be to use the very practical prefix "re-", meaning "once again" => "redemander"

Je lui ai demandé de nouveau demandé de m'envoyer le reçu, mais il m'a ignorée. Je lui ai de nouveau demandé de m'envoyer le reçu, mais il m'a ignorée.

It would be "demander à nouveau" (because you need to do the action once again, once more) but in this case, it'd be "envoyer À nouveau" because the other guy never did the action in the first place and thus need to do it as if it were the first time

Quant à leur Mais en matière d'amabilité, l'autre fille est plus gentille. Mais en matière d'amabilité, l'autre fille est plus gentille.

There's a small difference between "gentillesse" and "amabilité", but in this case, it doesn't really matter much

Donc, j'ene vais choisir la deuxième pour l'équipe. Donc, je vais choisir la deuxième pour l'équipe.