Comme à la plupart des enfants, j'avais étéon m'a demandé ce que je voulais faire/devenir quand je serais plus grandise.

demander quelque chose À quelqu'un
Only the DIRECT object of an active voice sentence can be the subject of a passive sentence (in French and in most languages, it's like that). An indirect object can't be, unlike in English. So if you say "j'ai été demandée", it means you are an actual question that has been asked!
The best solution here is to make an impersonal sentence with on => on m'a demandé, lit. "they asked me..."

The typical question is "qu'est-ce que tu veux faire/devenir quand tu seras (plus) grand ?"

Future from a past perspective = "future in the past", conditional => serais

À ce moment(-là), lae travail ne m'as pas intéresséait pas vraiment, donc j'ai dit lea préemièrer chose que j'ai pensé, unei m'est passée par la tête : factrice.

Background process, habit = imparfait => intéressait
It would be very natural/idiomatic to say "passer par la tête here", lit. "the first thing that crossed my mind"

J'ai même dessinéfait un dessin !

"dessiner un dessin" is highly redundant, and French generally avoids that kind of sentences as much as possible
We do say "faire un dessin" however

Mais à ce moment, les seulements choses que je voulais faire étaient jouer et sm'amuser.

You can even say "à cette époque", if you think you're talking about a somewhat distant past
"seulement" is an adverb; here you have an adjective that modifies "chose" => la SEULE chose
I would also pluralize it since you have two verbs ("s'amuser" and "jouer", two things)
je => M'amuser

J'étais une enfante un peu active.

J'aimais courir beaucoup courir et j'avais toujours des «bruises»bleus sur mes genoux à caus, quand je tomberais.

a bruise = un bleu
In a totally unrelated context, "un bleu" can also mean "a rookie" (in some professions)

à cause de [+ noun]
"car je tombais" would also work

Un jour, j'ai appris comment jouer la recorderde la flûte à l'école.

the recorder (here) = la flûte

Unless you're gambling or risking something, "jouer" never is transitive in French => jouer D'un instrument, jouer À un jeu

D'abord, j'avais de temps dur en lisant la notation de musiquela peine à lire les partitions.

"to have a hard time" is a typical English syntax that doesn't work once translated literally
to have a hard time doing something = avoir des difficultés/du mal/de la peine à faire quelque chose
More colloquial = galérer à faire quelque chose, en baver pour faire quelque chose

"partition" would be a better and simpler word here

Mais après dvec le temps, je suis tombée à l'amour avec la performance deeuse de l'interprétation musiqucale.

over time = avec le temps, au fil du temps
"tomber en amour" exists, but "tomber amoureux (DE qqch/qqn)" is more common

J'aime aimé les défis physiques et techniques d'apprendre que pose l'apprentissage d'un instrument, et aussi j'adore aussi/également la liberté d'expression ceque ça m'a donné/procuré.

I loved = j'ai aimé (past tense)
Relative pronouns are compulsory => la liberté QUE ça m'a donné
"ce" as a pronoun only works with "être" and some verbs accompanying "être"; in all other cases, "ça/ceci/cela" are used => ça m'a donné
I changed some other things to have a more natural phrasing

Depuis que ce moment, je veux'ai voulu faire de la musique une partie de ma vie.

depuis [+noun], depuis QUE [+clause]
faire quelque chose DE quelque chose
Past tense again => j'ai voulu
Even more natural => j'ai voulu que la musique fasse partie de ma vie