C'était (la nuit avant du premier jour pour rentrer à l'écolede) la veille de la rentrée, après les vacances deu Nouvel Aan chinois.

Le jour/la nuit d'avant = la veille
le jour pour rentrer à l'école = la rentrée

Pendant les vacances, j'ai réeçu un message de ma patiente qui disait que lsa couronne temporaire avs'était dété relevachée.

I'm not a specialist of dentistry at all, but "se détacher" seems far better than "être relevé" here

Donc, ce matin-cilà, j'avais arrangé un scellement d'une couronne pour cette patiente, et aussi un examen des tissus parodontaux pour un autre patient.

"-ci" is used for things close to you, the "-ci/-là" opposition is essentially "this/that" or "這/那" difference; for something away from you, "là" is better
The action of arranging things is technically anterior to the actions of describing; it was already done (obviously) when you started operating your patients, so => plus-que-parfait

J'aie craintgnais vraiment que j'auraisde ratéer les deux, alors c'était exactement comme ça dans mon cauchemar : j'aivais examiné trop lentement pour le premier patient trop lentement, donc il n'y avait palus beaucoup de temps pour le deuxième rendez-vous, et le pire c'était que la couronne de la deuxième patiente [n'était pas en forme.fixée?]

"rater" and "craindre" have the same subject, so you have to use an infinitive structure
"être en forme" is mostly said about living beings, it means "to be fit" or "to be in good health"; did you mean the dental crown wasn't rightly fastened, or just that it didn't look good?

Chaque fois que je suis trop nerveuse pour le deuxième jour, j'[deux jours de suite ?], je fais des cauchemar que tout est ratés où je rate tout.

"le deuxième jour" compared to what?
Did you mean every time you're two nervous two days in a row?

Mais à mon grand soulagement, cette fois, j'avaisi eu de la chance et les choses se sont passés bienbien passées.

"à mon grand soulagement" pretty much always works with "grand", it's kind of a set expression