僕の犬は白いと黒いの毛の色は白黒です。 僕の犬の毛の色は白黒です。

毛（け）

僕の犬は白いと黒いの犬です。 僕の犬は白と黒の犬です。

色を並べて言うときは、 「白黒」と並べる のが自然です。 白い→ い形容詞 白と黒です → 名詞として並列します

僕の犬は白いと黒いで(の模様があります。) 僕の犬は白と黒(の模様があります。)

For example, My dog has black and white markings.

元気と早くで走るのは速いけど、よく眠いる。 元気で走るのは速いけど、よく眠る。

元気と早くけど、よく眠い(で走り回り、よく寝ます)。 元気(で走り回り、よく寝ます)。

I guess your dog is pretty active and sleeps well.

鶏肉を食べるのはが大好きです。 鶏肉を食べるのが大好きです。

鶏肉を食べるのは(が)大好きです。 鶏肉(が)大好きです。

In this case, I'd say "my dog likes / loves chicken" sounds more natural to me.

よく遊びたいの遊ぶのが好きで、よく外に行きます。 遊ぶのが好きで、よく外に行きます。

よく遊びたい(たがるので)、よく外に(連れて)行きます。 よく遊び(たがるので)、よく外に(連れて)行きます。

Since “遊びたい” isn’t used to express what a dog wants, I’d say “遊びたがる” sounds more natural to me.