NärI började Jn av juli började jag göra en ny upptmaning: Plastfri Juli.

I think meant “utmaning”(challenge). Uppmaning means coercion. Other than that, months are not capitalized in swedish. Also when you say började you’re using it as a verb, (hon började) if you want to use the noun (in the beginning of something) you use the expression “I början av”.

Konceptet är att man måsteska försöka att inte använda plast under månaden, eller åtminstone försöka minska användningen av plast.

Here I would use “ska” instead of “måste”, they´re basically synonyms so either one works but I think “ska” looks nicer. Then you need to follow “försöka” with an “att”, think (try to do something) where the “att” is equivalent to “to” in this context.

Jag brukar göra denna upptmaning varje år i Jjuli för att det alltid finns något nytt att lära msig, eller någotftersom saker som var omöjliga att fgör miga förra året är nu är möjligta.

In this context you use “mig” instead of “sig”. Don’t worry, tons of native speakers also do this error and my Swedish teacher always complains about no one knowing the difference. I think the problem here comes down to how Swedes structure their sentences. After the “för att” something called a “bisats” (literally secondary part of a sentence) begins. Here the subject isn’t “jag” like in the first part. It’s “det” because it’s on it the verb “finns” is being acted upon. Therefore you need to use the pronoun sig instead of mig. I didn’t really understand the latter part of the sentence so I rewrote it to mean “because things that weren’t possible to do last year now are possible”

Detta år har jag bestämt mig att försöka återvinna så mycketånga förpackningar som möjligt.

Mycket works in this case but it’s VERY informal. In writing mycket means “a lot of” like a lot of milk. Många means a large number of like if I have 100 chairs I have “många stolar”. Since you have multiple boxes here I would use många.

Nu i köket finns det flera soptunnor i köket:

De behöver bara kasta förpackningar i den brarätt soptunnan och jag görsedan gör jag resten.

I think you mean the right trash can like milk cartons in the one for cardboard. “Den bra soptunnan” means the good one, like there is a bad one. Then you have another “huvudsats”(the primary part of a sentence) after the och and therefore you switch the places of the verb and pronoun. Swedish grammar is weird:)

Det är jag som kör till återvinning soptunnorsstationen bredvid ICA i stadens centrum och jag som kastar allt.

The recycling facility is called an “återvinningsstation”. Otherwise, really solid sentence

Men de fortfarande gör motstånd mot mina ansträngningar och håller på att kastar förpackningarna i de fela soptunnorna.

Jag behöver kolla bakom demras ryggar om de har använt den rätta.

Here I don’t really understand what you meant with behind them. If you mean that you’re checking if the trash is properly sorted while they’re not looking, the expression “behind their backs” works just as well in swedish

Det är verkligen inte så svaårt att förstaå vart allt går iska läggas.

Allt ska gå i is again pretty informal spoken language. I rewrote it to fit a written text better

De säger att allt återvinns ändaå senare, och att det inte spelar ingenågon roll atton man användaer olika soptunnor hemma och att det är okej att kasta allt i samma soptunna.

Men om det är så, varför då finns det då olika sorters soptunnor i staden?

Sorts is again a shortening of sorters. I get a feeling you’re writing with an accent from Norrland(the northern part of Sweden) I recognize the slang from there

Detta är något som jag saknar från när jag bodde ensam: jag kunde återvinna allt och behövde inte förklara entt tusen gånger varför jag gjorde det.

Tusen is an “ett-ord”, like ett äpple or ett bord