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箒に別の字があることすら知りませんでした。面白いですね！
以下調べてみたのですが、長文になってしまいました。もし興味があれば読んでみてください。

まず、私の住んでいるフランスから検索すると、「帚」と検索すると中国語のページばかりが出てきて、「箒」で検索すると日本語のページが出てきます。

基本的に中国でも日本でも使用されている漢字は、中国語のページが出てくるので、「帚」は中国でも使用されているが、「箒」は日本でしか使われていないと言えるのかなと思います。

次にwikipediaで「箒」を調べると、語源の欄に以下のようにあります。(wikipediaなので少しソースとしては弱いですが…)

"古い中国では、棒の先端に細かい枝葉などを束ねて取り付けたもの（箒の形にしたもの）を「帚（そう）」といい、酒をふりかけるなどして、廟（びょう）の中を祓い清めるのに使用した。この字に竹を冠したものが「箒」である。"

つまりほうきは掃除には使われておらず、宗教的な意味合いで使用されていたということのようです。また材料も棒と枝葉と書いていることから、竹は使われていなかったようです。

そして新漢語林で調べると「箒」のページに以下のようにありました。

"のち、竹を付し、竹製の道具の意味を加えた"

よって、憶測ですが、元々中国で使われていたほうきには竹が使われていなかったものの、日本に伝わった際に、日本に豊富にある竹が使用されるようになったために、竹部を足した日本独自の漢字が作られたのではないかなと思います。