今日は次女エロラはを祖母の別荘まで迎えに行かなくてはいけないません。

エロラはこの場合、「目的語」にあたります。

ついでに、家族と一緒にあそこの付近で自転車の乗りをその付近を（周辺を）サイクリングするつもりでした。

自転車に乗ってぶらぶらする（自転車に乗って走るのを楽しむこと）＝サイクリングする

私の家族は2人の親と4人の子供がいる我が家は、親2人と子供4人、合わせて6人家族なので、6台の自転車が必要んでした。

とてもたくさんの自転車ですよ！

そして準備にはかなり時間が必要でかかりました。

時間が必要＝時間がかかる

でも、自転車の乗をに乗り始めるたところで（自転車に乗ってすぐに）、私の自転車のタイヤがバーストパンクしてしまいました。

「私の自転車がパンクしてしまいました。」と、「タイヤ」を省いて書いてもよいです。

残念！自宅に帰えることがどうしようもではるしかありません。

「残念！」は、「残念ながら、～」と書いてもよいです。

今日は次女エロラは祖母の別荘まで迎えに行かなくてはいけない。

ついでに、家族と一緒にあそこその付近で自転車の乗りをするつもりでした。

私の家族は2人の親と4人の子供がいるので6台の自転車が必要んでした。

でも、自転車の乗をに乗り始めるたところで、私の自転車のタイヤがバーストパンクしてしまいました。

パンク comes from "puncture." I think パンク is Japanese English.

残念自宅に帰えることがどうしようもでは仕方なく家に戻るしかありませんでした。

今日は次女エロラはを祖母の別荘まで迎えに行かなくてはいけないませんでした。

「行く必要がありました」「行かなくてはなりませんでした」
「〜なければならない」の詳しい説明がありました
https://jlptsensei.com/learn-japanese-grammar/%E3%81%AA%E3%81%91%E3%82%8C%E3%81%B0%E3%81%AA%E3%82%89%E3%81%AA%E3%81%84-nakereba-naranai-meaning/

(その)ついでに、家族と一緒にあそこその付近で自転車の乗りをすに乗るつもりでした。

「あの付近」だと「that vicinity」、「あそこの付近」だと「the vicinity of あそこ」みたいな感じになります。また、「あれ」「あの」は聞き手と共有できることにしか使いません。日記なので間違いではありませんが、この場合は「その付近」の方が良いと思います。
「自転車に乗る」の代わりによく「サイクリングをする」と言います。

私の家族は2人の親と4人の子供がいるの親2人と子供4人で6台の自転車が必要んでした。

たくさんの自転車ですよ！

日本語でも「それは多くの自転車です！」と言えますよ。

そしてですから準備はにかなり時間が必要でした。

でも、自転車の乗をを乗り始めるたところで、私の自転車のタイヤがバーストし壊れてしまいました。

To get a flat tire = パンクする
パンクするのはタイヤなので、「自転車がパンクする」でOK

残念ながら自宅に帰えることがどうしようもではるしかありませんでした。

「どうしようもない」There is nothing I can do about it
「どうしょうもないので、家に帰りました」

今日は次女エロラはを祖母の別荘まで迎えに行かなくてはいけないませんでした。

ついでに、家族と一緒にあそこの付近で自転車の乗りを（or サイクリング）するつもりでした。

私の家族は2人の親と4人の子供がいるので6台の自転車が必要んでした。

そして準備はにかなりの時間が必要でした。

でも、自転車の乗をに乗り始めるたところで、私の自転車のタイヤがバーストパンクしてしまいました。

残念ながら自宅に帰えることがどうしようもではしかありませんでした。