日本の文化に関心を寄せている理由は多いですから、決めるのは困っているん一つだけ答えるのは難しいです。

「~している」is used in the case where you want to express something happening in the right-now moment or a single second of the past or future. 「困る」makes a little serious and direct sense. Rather 「難しい」is more appropriate in many contexts.

最初にはアニメやゲームなどを好きだったので、日本の文化について興味になってきました. しかしになったことがきっかけで、日本の文化に興味を持ち始めました。¶
そして、時間が経つにつれて私の興味はより深くなっていきました、実際には。例えば、日本の音楽や歴史や、民間伝承なども好きになっていきました。

If you want to explain along the timeline, 「きっかけ」is a more useful and natural word for Japanese. 「興味」is just a noun in Japanese, so you have to add some particle here. 「しかし」is not appropriate in this case, I think. If you want to introduce additional cases or things, 「も」is useful.

それで、あの時から、毎日のように日本語だけで動画を観て、音楽を聴いて、ソーシャルネットワークを使っていきました。

「あの時」might make Japanese imagine a concrete time and wonder “what date and what time did you get interested in Japanese culture?” If you don’t point out a critical time, 「それから」is a useful phrase.

私の目的標は、将来には、辞書を使わずに日本の小説や映画や音楽など理解するようになりたいることです。

「目標」is used for a longer-term or greater-scale goal.

もちろん、他の理由もありますけど、この文章を長くしないようにここで止めておきが、冗長となるので割愛します。

「冗長になるので割愛」is so useful phrase if you want to express both your will to explain more and your unwillingness for taking too long time or sparing too much space.

日本の文化に関心を寄せている理由は多いですから、決めるのは困っているんですので、一つに絞ることは出来ません。

最初にはアニメやゲームなどが好きだったので、日本の文化について興味になを持ってきいました. 。¶
しかし、時間が経つにつれて私の興味はより深くなっていきました、。実際には日本の音楽や歴史や民間伝承などを好きになっていきました。

それで、あの時から、毎日のように日本語だけで動画を観て、音楽を聴いて、ソーシャルネットワークを使っていきました。

私の目的は、将来的には、辞書を使わずに日本の小説や映画や音楽など理解す出来るようになりたいる事です。

日本の文化に関心を寄せていがある理由は多いですから、決めるのは困っているんので、ひとつに決めるのは難しいです。

最初には、アニメやゲームなど好きだったので、日本の文化について興味になっが湧いてきました. ¶
しかし、時間が経つにつれて私の興味はより深くなっていきました、実際には日本の音楽や歴史や民間伝承など好きになっていきました。

それで、あの時その頃から、毎日のように日本語だけで動画を観て、音楽を聴いて、ソーシャルネットワークを使っていきました。

私の目的は、将来には、辞書を使わずに日本の小説や映画や音楽など理解するようになりたいことです。

もちろん、他の理由もありますけど、この文章投稿を長くしないようにここで止めておきます。

日本の文化に関心を寄せている理由は多いですから、どれが一番の理由か決めるのはに困っているんです。

最初にはアニメやゲームなどが好きだったので、日本の文化について興味になってきを持つようになりました. 。¶
しかし、時間が経つにつれて私の興味はより深くなっていきました、実際にはり、日本の音楽や歴史や民間伝承なども好きになっていきりました。

それで、あその時から、毎日のように日本語だけで動画を観て、音楽を聴いて、ソーシャルネットワークを使っていきうようになりました。

私の目的は、将来には、辞書を使わずに日本の小説や映画や音楽など理解すできるようになりたいることです。

「私の目的は」があるので、「．．．．なることです」にするほうがいいですね。
「私の目的は」がなければ、「将来には、辞書を使わずに日本の小説や映画や音楽など理解するようになりたいです。」でOKです。