私のゲーム機は古いゲームしか起動し遊べません。

「起動しません」でももちろん意味は通じます。
ただ、「遊べません。」の方がより自然に聞こえると思います。

ゲームボーイやPSPなどのゲームがは起動できます。

元の文章で完璧です。
修正で書いた「～のゲームは起動できる」とすると、他の種類のゲームは起動できないが、これらのゲームは起動できるといった、比較を強調することができます。

しかし、そのほうもがいいと思います。

他にも良いと思うことがあって、これも良いと思うのであれば、「そのほうも良いと思います。」としてもわからなくはないです。
ただ、基本的には「そのほうが良いと思います。」と書いた方がより自然に聞こえると思います。

日本にはたくさん面白いレトロゲームがあります。

「日本は」でも何も問題ありません。
お好きな方を書いてください。

本当に驚いきました。

「本当に驚きました。」「本当に驚いたのを覚えています。」「本当に驚いてしまいました。」等書くことができます。二つ目の文章は少し固い表現になります。

しかし、そのほうもがいいと思います。

本当に驚いきました。

特に乙女ゲームやBLゲームが好きで、日本の広いゲーム全集を通して、思いっきりプレイできます。