③東京にへ友達と会うしに会いに行きます。

The use of the particle “に” after “東京” is actually not wrong. However, that would result in all the particles “に,” so I changed the particle after “東京” to “へ.”
This is just my preference, though.

④来月は横浜にアート展示を見に行きます。

or
④来月はアート展を見に横浜に行きます。

⑤今週はロンドンに同僚らを会うに行きました。

今週は同僚らに会いに、ロンドンに行きました。

⑥今週はロンドンに出張をに行きました。

⑦先週、デパートに新しいTシャツら等を買いに行きました。

③東京に友達と会うしいに行きます。

「友達に」でもいいです。

⑤今週はロンドンに同僚らをたちに会うに行きました。

⑥今週はロンドンに出張をに行きました。

⑦先週、デパートに新しいTシャツらを（何枚か）買いに行きました。

シャツは複数形にできないので、「何枚か」を付けると、一枚じゃないことがわかります。

③東京に友達と会うしにため行きます。

または、「～友達に会いに行きます」

⑤今週はロンドンに同僚らをに会うに行きました。

⑥今週はロンドンに出張をにで／のため行きました。

⑦先週、デパートに新しいTシャツらなどを買いに行きました。

「ら」はだいたい人の後につけます。物には使いません。

③東京に友達と会うしために行きます。

④来月は横浜にアート展示を見に行きます。

⑤今週はロンドンに同僚らを会うたちに会いに行きました。

⑥今週はロンドンに出張をにのため行きました。

今週は出張でロンドンに行きました。この方が自然に聞こえるかもしれません。

⑦先週、デパートに新しいTシャツらを買いに行きました。

③東京に友達と会うしに会いに行きます。

返します→返しに　　買います→買いに　　会います→会いに
”友達と会いに行きます”　sounds like "go to (place) with my friend to see somebody” 　

⑤今週はロンドンに同僚らを会うに会いに行きました。

⑥今週はロンドンに出張を（し）に行きました（or 出張でロンドンに行きました）。

⑦先週、デパートに新しいTシャツらを買いに行きました。

③東京に友達と会うしに会いに行きます。

④来月は、横浜にアート展示を見に行きます。

⑤今週はロンドンに同僚らをに会うに行きました。

⑥今週はロンドンに出張をに行きました。

⑦先週、デパートに新しいTシャツらなどを買いに行きました。

「ら」はperson/peopleに使う、口語で、やや粗野な言葉です。「お前ら」「覆面のやつら」「ピエロのマスクの男ら」