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説明をしたことがないので、私の感覚で説明します。(笑)

「~間に」を使うときは、動詞がくるはずです。料理をしている間に、大学に通っている間に。
名詞をもってくる場合は、料理の時に、大学の時に、と「の時に」を使い、「大学の間に」とはあまり言いません。会話で既にその話が出ている場合で省略しても相手がわかる場合のみ「大学の間に」と言うことはあるかもしれませんが、通常は言いません。

「時に」は動詞にも使えます。料理をしている時に、大学に通っている時に。
こちらは、料理をしている間に、大学に通っている間に、と同じ意味にとって大丈夫です。

「時に」はある時点を示すこともあれば、ある一定の期間を示すこともあります。
転んだ時に頭を打った。
（倒れ始めてから、道路に倒れるまでの間に頭を打ったのではなく、転んだ、"その瞬間に"、頭を打った）

「大学の時に」といえば、大学に入学した時（その瞬間)から卒業した時(その瞬間）までの大学生活全体の期間をさします。
「大学に通っている間に」といえば、「大学の時に」とほぼ同じ内容になります。

「何々が起きると」は、期間というよりも原因を表すと思います。
暴動が起きると、一晩中、騒がしくなる。
事故が起きると、すぐに人が寄ってくる。
地震が起きると、津波がくる可能性があります。

不明点があれば、聞いてください。