初めて店長がいないシフトなので、ちょっと不安でしたが、もう一人の店員さんがフォローしてくれて助かりますした。

過去のことなので、「助かりました」と過去形にしました。

何人かのお客さんがのいう事を聞き取れなかったので、ちょっと悔しいです。

言ってる感覚的に、「何人かのお客さんがいう事を～」と「何人かのお客さんのいう事を～」のどちらでも大丈夫だと思います。

たまに読めない言葉もあって、また同僚に頼って仕方しまって不甲斐ないです。

「不甲斐ない」はかなり難しい日本語ですがこの場面ではぴったりな気がしたので修正しました。
他にも、「申し訳ないです。」と書いてもいけそうですね。

日本語がをもっと上達したい。

「日本語をもっと上手くなりたい。」としてもいいと思います。
ただ、元の文章のままでも問題ありません。

何人かのお客さんがいう事を聞き取れなかったので、ちょっと悔しいです。

たまに読めない言葉もあって、また同僚に頼って仕方るしかないです。

外国人ではなく、ちゃんと一人前になりたい。

何人かのお客さんがいう言っている事を聞き取れなかったので、ちょっと悔しいです。

たまに読めない言葉もあって、まただ同僚に頼ってらなくてはいけないけど、仕方ないです。

日本語がもっと上達し手になりたい。

外国人ではなく、ちゃんと一人の社会人になりたい。