私の住む場所では、夏休み始めが始まってもう一か月ぐらい過ぎたね。

「始めて」と「始まって」は似ていますが、「始める」は自分が主体的に開始する意味が強い動詞、「始まる」は自然に物事が開始される状態を表す自動詞です。夏休みの場合は「始まる」が適切です。

最近さ、ここなんで何も書かなくてもたくさん日本語を勉強してたね。

「なんも」は関西弁やくだけた言い方で、「何も」の意味です。カジュアルな会話では使えますが、標準語にすると「何も」。
「ここなんも」は場所を指しているようですが、少し不自然。「ここで何も書かなくても」が自然な形です。

私の住む場所では、夏休み始めが始まってもう一か月ぐらい過ぎたね。

今年はね、ほぼ毎日雨が降るけど、外に出れなくても大丈夫。

最近さ、ここなんになにも書かなくてもたくさん日本語を勉強していたね。

私の住むんでいる場所では、夏休み始めが始まってもう一か月ぐらい過ぎたね。

「住んでいる」で状態とか継続が表現できるね。

今年はね、ほぼ毎日雨が降っているけど、外に出れなくて大丈夫。

最近さ、ここになん（に）も書かなくてもたくさん日本語を勉強してたね。

めちゃ楽しみい。