教科書によると、正しいのは、「まで」ですが、「に」は正しいですか？

「動物園に歩きました」は間違いですね。「～に（歩いて）行きました」ならOKです。

それはどうしてですか？

個人的に「大阪へのきっぷ」でも良いと思いますが、目的地が大阪なら「までの」のほうが終着点がしっかりわかると思います。「大阪への」の場合大阪方面のきっぷを買ったとも解釈できます。

そして、「にの」はどうですか？

「大阪にのきっぷ」は合ってないと思います。なぜかと言われると説明できないです･･･すみません。

最後に、「に」と「へ」の違いはがはっきり分かりません。

クラスで習ったのは、「に」は、詳しい所がを知っているとき（例えば、学校）に使いますが、「へ」は方面だけ（例えば、北海道、日本）がを知っている時に使います。

それは正しいですか？

こんな解説を見つけました、小難しいですが最後の一文によると使い分けは厳密じゃないとあります。僕もそう思います。
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「北に向かっている」と「北へ向かっている」の「に」と「へ」は格助詞で、いずれも、「向かう」という移動を表す動詞の到達点や方向性を示しています。一般的に、「に」が到達点そのものに焦点が当てられているのに対して、「へ」はそれよりも広い範囲、つまり到達点とともにそれに向かう経路や方向性に焦点が当てられています（『みんなの日本語事典』参考）。しかし、こうした「に」と「へ」の意味の使い分けは現代では、たいへんあいまいです。