三つの関係のない質問がありまるのですが。

変な質問ですが、「何なんだよ」という言葉を聞いたことがありますが、その二つ目の「なん」の意味は何ですか？

考えたことがなかったので説明が難しいです😅ネットで検索したけど何もヒットしませんでした😓

これは私の勝手な憶測ですが、多分、「何なのだ」からきているのではないかと思います。
「なのだ/なのです」は、相手が言ったことに対して「実は/本当は…です」と正解を教えるときに使います。

A: これ何に見える?
B: チョコレート
A: (実は)消しゴムなのだ〜

何なんだよ?→何なのだよ?→(本当は)何が言いたい(or したい)のだよ?

そして、普通の「何だよ」と、違いはありますか？

「何だよ」より「何なんだよ」の方が怒り具合が強いです。

「何なんだよ」を使う時は大抵怒ってます。

何だよ!
何なんだよ!!💢

または、話者の慌てる気持ちを強調するだけですか？

慌てるというよりも怒ったり、不快な気持ちを強調します。

発音が同じですが、意味のニューアンスの違う漢字があるということがを（Langcorrectのユーザーのおかげで）知っています。

日本人は、学校でそれを勉強しますか？

はい、一つずつ勉強します。テストに出ますので勉強します。

または、日本語を自然に読んだり使ったりして、分かるようになりますか？

子供向けの本から大人向けの小説を読むと漢字の使い方がわかると思います。

逆に、日本人の場合は、英語を勉強するときカタカナが分かるおかげで、英語の言葉が分かることがありますか？

バナナとかチョコレートとか、食べ物は大抵わかります。

チャージする(top up)とか、イメージダウンする(damage the image/reputation)は和製英語なので、これを英語だと思って使っている日本人はめちゃ多いです😅