昨日、妹を友達に遠いデパートで友達に会わせるために妹を車で送った。

Putting a longer modifying phrase before a shorter one improves readability in Japanese.
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遠いデパートで→会わせる
友達に→会わせる
（妹を）→会わせる

遠いデパートで友達に会わせるために→送った
妹を→送った
車で→送った

せっかく来たので、私も何をか（を）しようと思った。

髪切りをしを切って、買い物をして、ゲームセンターに行った。

何もやらなかったけど、日本のゲームが（があるの）をたくさん見て、少しびっくりした。

昨日、妹をが友達に遠いデパートで会わせるために会いに行くのに（=行くために）遠くのデパートまで車で送った。

せっかく来たので、私も何をかしようと思った。

髪切りをしを切って、買い物をして、ゲームセンターに行った。

何もやらなかったけど、日本のゲームがたくさん見あって、少しびっくりした。

昨日、妹を友達に遠いデパートで会わせるために遠くにあるデパートまで車で送った。

せっかく来たので、私も何かをしようと思った。

髪切りをしを切って、買い物をして、ゲームセンターに行った。

何もやらなかったけど、日本のゲームがたくさん見あって、少しびっくりした。

昨日、妹を友達に遠いデパートで会わせるために車で送った。

これはおもしろいね。英文だとほとんど順番が固定されるようだけど、日本語だと、「妹を遠いデパートで友達に合わせるために車で送った」でも
「遠いデパートで友達に会わせるために妹を車で送った」でもいいね。日本語ってあまり語順にこだわらない感じがするね。

せっかく来たので、私も何をかしようと思った。

髪切りをして（or 髪を切って）、買い物をして、ゲームセンターに行った。

何もやらなかったけど、日本のゲームがをたくさん見て（or 日本のゲームがたくさんあって）、少しびっくりした。

昨日、妹を友達に遠いデパートで会わせるために、遠くのデパートまで車で送った。

せっかく来たので、私も何をかしようと思った。

髪切りをしを切って、買い物をして、ゲームセンターに行った。

何もやらなかったけど、日本のゲームがたくさん見あって、少しびっくりした。

せっかく来たので、私も何をかしようと思った。

髪を切りをして、買い物をして、ゲームセンターに行った。

何もやらなかったけど、日本のゲームがたくさんあるのを見て、少しびっくりした。

昨日、妹を友達にが遠いデパートで会わせるために友達に会うというので車で送った。

自然になるように直しました。

せっかく来たので、私も何をかしようと思った。

髪切りをしを切って、買い物をして、ゲームセンターに行入った。

「入る」の方がいいかと思います。

何もやらなかったけど、日本のゲームがたくさんあるのを見て、少しびっくりした。