１）このアニメがは友達のおすすめですから、面白いはずです。

「面白いはずです。」の使い方は完璧です。
前半に関しては、少し細かい指摘になってしまいますが、「おすすめですから」は少し違和感を感じます。（本当に少しです。）
「おすすめなので、」と書くとより自然に聞こえると思います。ただ、元のままでも全然大丈夫です。

田中さんなら病気になったはずでだと思います。

前文と合わせて、「今日は田中さんが仕事を休んだ。多分病気だと思います。」と書くと、より自然に聞こえると思います。
「病気になったはずです。」としても、もちろん意味は伝わります。
ちなみにですが、「～病気になったはずです。」と書くと、病気になって欲しかったという印象を少し含むことがまれにあるので注意してください。（本当に稀です。）

飛行機に遅れないように三時間前に家からを出発しました。

元の文章でも特に問題ないと思います。
日本語では、「家から出発」より「家を出発」の方が使うと思います。

この試験がは簡単なはずなので、あまり練習する意味がはないだろう。

「が」と「は」の使い分けは本当に難しくて、とても細かい違いなので、特に気にする必要はないとは思います。
「この試験は」とすると、他の一般的な試験は難しいけど、この試験は簡単だという比較を強調する感じになります。

１）このアニメがは友達のおすすめですから、面白いはずです。

A:今日は田中さんが仕事を休んだね。

B:田中さんなら病気になった休暇届が出ているはずですよ。

ちょっと会話調に変えてみました。

飛行機に遅れないように三時間前に家から出発しました（or 家を出ました）。

この試験がは簡単なはずなので、あまり練習する意味がないだろう。

１）このアニメがは友達のおすすめですからなので、面白いはずです。

飛行機に遅れないように三時間前に家からを出発しました。

この試験がは簡単なはずので、あまり練習する意味がないだろう。