Во время холодной войны между США и СССР, буйствовал конкурс, который был о том, чкто кем бы был первой страной, которая бы достигнула лЛуны.

"буйствовал конкурс" - звучит очень сильно и угрожающе. Можно заменить на "было соревнование о том, кто ...."

Казалось, что гонка космоскосмическая гонка была более важная, чем ядерная гонка.

Научные достижения были по последней модае, а рекорд изобретенияе самой мощной бомбы уже не привлекало внимание никого.

по последней моде не очень подходит для этого предложения.
Можно написать:
Научные лаборатории были оснащены по последнему слову техники и для освоения космоса делались самые последние научные достижения того времени, а изобретение самой мощной бомбы уже не привлекало ничье внимание.

Ну, нам нужно проанализировать нашу историю.

"Ну" как вводное слово лучше употреблять только в устной речи

В конце вВторой мировой войны, государства осознали, что оружия, бомбы и другие инструменты войны только совершилиорудия войны совершали/ преследовали только одну цель-уничтожение мира и человечности.

Где бы были памятники, дома, школы, музеи, пули и снаряды бывсё превратили их в пепел.

А то, что осталось-ничего.

Лучше: Ничего не осталось.

В случаях Дрездена, Варзовашавы и Сталинграда, цельные культуры исчезли после того, как волна за волной бомб попады бомбежек накрывали в города.

Столица Польши по-русски - Варшава

Стоило ли того исследование космоса?

Это открытие является значительным, из-за того, что это возможность того, что мы переедем на эту планету в будущеем-сегодня действительность, и я достаточно уверен тогов том, что это обеспечит выживание нашего породывида.

Тем не менее, с другой стороны, шутки, так как в случае ЕИлона Маска, который запустил машину в атмосферу в дар для инопланетяных, вызывают, что я сомневаюсь на сомнения в том, есличто усилиея родоначальниковуководителей ограничиваются такими действиями.

Лучше:
С другой стороны такие шутки, как, например, когда Илон Маск запустил машину в космос в дар инопланетянам, вызывают у меня сомнения с том, что действия руководителей/ предводителей целессобразны.