Фигуристка разучила новую программу для соревнованияй.

Я понимаю почти все правила в учебнике, но до конца егоще не выучила.

If you talking about rules you should use "ещё", т.к. if you use "его" you are talking about textbook, not about rules.

Он учился ремеслому и теперь считается обученным специалистом.

You can use a question - "Он учился чему? - Ремеслу?"

Мой папа проучился четыре года в университете Калифорнии.

This variant is okay but your also can say - Мой папа учился четыре года в университете Калифорнии. It will be more colloquial version.

Мы стараемся отучить собаку не кусаться.

If you use verb. отучить, you shouldn't use a negative particle.
Or you can say Мы стараемся научить собаку не кусаться.

У неё сейчас много зубов и когда онам кусает, она делает больно и даже походиидет кровь.

Коля отучил дочку не кусаться.

The same situation as in the sentence about dog.
Коля отучил дочку кусаться. Or Коля научил дочку не кусаться

Оказалось, что она с другой девочкой вела борьбу.

It's okay but you also can say - Оказалось, что она с другой девочкой боролась. It will be more naturale

Надо было отучить неё бороться в школе.