Αγαπητή Άνα να,¶
Δεν σου έγραψα γιατί ήμουν πολύ απασχολημένη.

Εγώ έΈχω ένα νέαο: έχω ξεκυνήσει μαθήματα πιάνου.

Since there is no need to emphasize "I" in this case, you can omit it.

ΆποΑπό μικρή ήθελα να πιάαίξω πιάνο αλλά οι γονιέείς μου δεν μου το αγόρασαν ποτέ γιατί δεν είχαμε ούτε λεφτά ούτε αρκετό χώρο.

Τώρα έχω το δικό μου διαμέρισμα και τα δικά μου λεφτά και μπορώ να αγοράσω ενα πιάνο και το(για να πιαίζωξω).

You could possibly say something like (για να παίξω - to play), but it's best to omit this altogether and just mention that you can buy a piano. The playing part is implied because of the context of the sentence.

Αλλά πρώτον, πρέπει να μάθω να το πιάπαίζω.

You can say "παίζω" without "το" (it). Again, this is implied from context.

Δύο φορές την εβδομάδα πάω στοηγαίνω σε μια σχολή μουσικής, που είναι κοντά στο σπίτι μου.

"σε μια σχολή" (to a school) sounds more natural

Δεν είναι καθούόλου εύκολαο να μάθει κανιέείς μουζσική.

Δεν είναι καθόλου εύκολο να μάθεις μουσική. This is in second person singular and perhaps a more common way to express the idea of "one can do X" in informal letters (if that was your goal).

Η αλήθεια είναι ότι μάλωλον δεν έχω ταλέντο για μουσική.

ΆΑλλαά δεν πειράζει, εγώ έχω υπομονή και η δασκάλα μου είναι πολύ φοιλική και έμπειρη.

Θα τοα καταφέρω και όταν θα μπορώ να παίζξω απλές μελωδίες θα αγοράσω εένα πιάνο για να παίζω στο σπίτι.

Θα το βάσλω στο σάλοαλόνι.

Πιστέυεύω ότι το πιάνο είναι το καλύτερο μουζσικό όργανο, επειδή με αυτοό μπορεί κανιέείς να παίζξει οποιαδήποτηε μελοωδία.