À l’Aavenir…

It's very unusual to capitalize every word of a title in French

Bonjour !

Hier soir, ma mère me 'a demandé si je voudrais aller à lea fac et j’ai dite lui ai dit/répondu que je vais aller à l’université en France, à Paris.

me+a => m'a

Depuis j’avaisi seulement six ans, c’est maon rêve êtrede devenir médecine puisque la biologie et la chimie sont mon sujetes matières préféré enes à l’école.

The verb in the "depuis que" clause has to match the tense of the verb in the main clause, so even if you're not six anymore, your dream would be considered as something still going on and so would the fact of being six
So => depuis que j'ai

"un sujet" is a question asked during an exam. Fields and disciplines you study at school are called "matières"

Après avoir fini le lycée, j’ai l’intention de faire dun stage endans un hôpital que n’est pas loin de ma maisonchez moi.

avoir l'intention DE faire qqch
ma maison = chez moi (much more natural to use "chez")
You don't need a relative at the end, it's simpler and smoother

Sur l’autre côtéNéanmoins, ma sœur préfère le dessin et les langues.

on the other side = d'un autre côté
This expression (in French) is used when you examine two opposite points of view or aspects, like advantages and disadvantages of a situation. To introduce a simple contradition, you're spoiled with choice => mais, cependant, toutefois, néanmoins etc

Elle trouve que les science ess sont barbantes.

Or "la science", if you're referring to "science" as a general abstract concept

À l’avenir, elle aimerait devenir un prof d’anglais en l’Italie, possiblementeut-être à Venicse.

elle aimera = she will like
elle aimerait = she would like (conditional, wish)

Titles and professions generally don't require any article => je suis pompier, avocat, prof, boulanger etc
"possiblement" is very uncommon and sounds very unnatural