La troisième dose due vaccin

Bol de soupe, verre d'eau, photo de star...
soupe, eau et star sont ici des noms indéterminés. Si on sait que la star est Beyoncé par exemple, on peut dire "une photo de la star". Pour "vaccin" c'est pareil. C'est un vaccin indéterminé. Ce n'est pas la dose que vous avez réservé et acheté.
Si vous hésitez entre deux formulations, vous pouvez faire une recherche google.
Si on fait une recherche "dose du vaccin", on ne trouve rien et les premiers résultats sont en fait "dose de vaccin". Ca ne marche pas à tous les coups, mais c'est parfois un bon indice pour savoir si on se trompe.

J'avais l'intention d'écrire la suite due mon expérience du confinement au Japon, mais je me sens un peu fatiguée après avoir eu ma troisième dose due vaccin.

J'espère meque je serai rétablire demain.

Votre phrase est correcte, mais ce n'est pas la formulation la plus courante.
On peut dire aussi "J'espère me rétablir d'ici demain".