去年、あと5その日は私の誕生日まであと5日でした。

彼は食事に誘ってくれた。

食事に行く途中で、（その）近くに公園に寄った。

少し公園を一周したてから、大きい木に座った。

”「もうすぐ誕生日です。その日出張しなければなりません。ですから、今日まえ事前にプレゼントをあげます。誕生日おめでとうございます。”」と言いました。

”「ありがとうございます。”」と言いました。

去年、あと5日は私の誕生日まででした。

Sorry, I’ｍ afraid to say that it does not make a sense to me.
From reading the rest of your story, it seems that it happened five days before your birthday last year, so I would say "去年の私の誕生日の5日前でした。"

食事に行く途中で、その近くにの公園に寄った。

少し公園を一周したら後、大きい木の下に座った。

それから、ポケットから箱を取ってり出し、開けた。

「取って」makes a sense. However, 「取り出し」makes it even more emotive.
You could also say 「そして、ポケットから箱を取り出し、開けた。」

”もうすぐ誕生日です。その日出張しなければなりません。ですから、今日まえその前にプレゼントをあげます。誕生日おめでとうございます。”と言いました。

「プレゼントをあげます」is okay gramatically. However, many Japanese natives wouldn't say that. 「プレゼントを受け取ってほしいです。」would be nicer.