コークとペプシ戦争

In Japan, coca cola is called Cola (not coke).（コーラ/コカコーラ)

ペプシコーラとコークカコーラにどのどっちの方が美味しいかの戦争は西洋国にでは最も有名なものだ。

You don't need to use both 戦争 and ライバル in the same sentence. I edited your sentence to use 戦争 but if you wanted to use ライバル, you could say ペプシコーラとコカコーラは西洋国では最も有名なライバルだ。
If you want to get specific - 戦争 means war literally, so 争い (conflict) would probably be more natural.

ライバルだ。

(Look above)

もしあるレストランはにペプシがあれば、絶対にコークラがない。

客がコークラを注文したら、「ペプシでもいいですか」と聞くかれる。

Because you don't explicitly mention the waitress/waiter here, you want to say that the customer is asked = 聞かれる　（聞く = to ask)

私なら、別に構わないが、少しコークカコーラの方が好きだ。

日本にはきのこたけのこ戦争があるらしい。

私の国にはこきのこだけがあるから、私はきのこの味方だ。

コークラとペプシ戦争

日本ではコークコーラはコカコーラと言います！

ペプシコーラとコークカコーラにのどちらの方が美味しいかの戦論争は、西洋国にでは最も有名な戦いだ。

戦争よりも論争とする方がここでは適しています。
戦争は一般的に武器などを使って争うことを指します。

彼らはライバルだ。

もしあるレストランはにペプシがあれば、絶対にコークラがない。

客がコークラを注文したら、「ペプシでもいいですか」と聞く。

私なら、別に構わないが、少しコークラの方が好きだ。

全部の国には多分世界中の国でもこんな無意味な戦論争があるかもしれない。

日本にはきのこたけのこ戦論争があるらしい。

私の国にはこきのこだけがあるから、私はきのこの味方だ。