鍋を火にかける。

鍋に火をかける　か　鍋を火にかける　かは、日本語話者でも悩ましいところ。
検索してみても意見がわかれてます。
あくまで私のイメージだと、

鍋に火をかける　は、鍋を先に置いた状態で、そこに火を後でつける感じ。
鍋を火にかける　は、先に火がついている状態で、そこに鍋を置く感じ。

鍋の油が沸騰して2分くらいたったら、卵を鍋に割ってそれを鍋に入れます。

割るものは卵なので、「卵を割って」

卵が調理されたら、火を止める。

調理されたら、でも意味はわかります。より具体的にどういう状態になったらかを書いて、
「卵がほんのり焼きあがったら、火を止める。」
というような言い方もできます。